Question

某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162m²的三級污水處理池，池的深度一定(平面圖如圖所示)，如果池四周圍墻建造單價為400元/m²，中間兩道隔墻建造單價為248元/m²，池底建造單價為80元/m²，水池所有墻的厚度忽略不計．
 
(1)試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；
(2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16m，試設計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價．

Answer 1

（1）當長為16.2m，寬為10m時總造價最低，最低總造價為38880元．（2）當長為16m，寬為10m時，總造價最低，為38882元．

(1)設污水處理池的寬為xm，則長為m
總造價為f(x)＝400×＋248×2x＋80×162＝1296x＋＋12960＝1296＋12960≥1296×2＋12960＝38880元．當且僅當x＝(x>0)，即x＝10時取等號．∴當長為16.2m，寬為10m時總造價最低，最低總造價為38880元．
(2)由限制條件知∴10≤x≤16.設g(x)＋x＋，由函數性質易知g(x)在上是增函數，∴當x＝10時(此時＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1296×＋12960＝38882(元)．∴當長為16m，寬為10m時，總造價最低，為38882元．