Question

已知離心率為的橢圓上的點到左焦點F的最長距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，過橢圓的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB，若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”，求橢圓的“左特征點”M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓離心率為，其上的點到左焦點F的最長距離為，可建立方程組，即可求得橢圓的方程；
（2）設M（m，0）為橢圓的左特征點，根據橢圓左焦點，設直線AB方程代入橢圓方程，由∠AMB被x軸平分，k_AM+k_BM=0，利用韋達定理，即可求得結論．
解答：解：（1）由題意知，∴a=2，c=，∴
∴橢圓的方程為；
（2）設M（m，0）為橢圓的左特征點，橢圓的左焦點F（-，0），
可設直線AB的方程為x=ky-（k≠0）
代入，得：（ky-）y²+4y2=4，即（k²+4）y²-ky-1=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）得y₁+y₂=，y₁y₂=-
∵∠AMB被x軸平分，k_AM+k_BM=0，即，
即y₁（ky₂-）+y₂（ky₁-）-（y₁+y₂）m=0
所以，2ky₁y₂-（y₁+y₂）（m+）=0
于是，2k×（）-×（m+）=0
∵k≠0，∴1+（m+）=0，即m=，∴M（，0）
點評：本題以新定義為載體主要考查了橢圓性質的應用，直線與橢圓相交關系的處理，要注意解題中直線AB得方程設為x=ky-2（k≠0）的好處在于避免討論直線的斜率是否存在．