Question

如圖已知A、B分別為∠POQ的邊OP、OQ上的動點且∠POQ=60°，|

OA

-

OB

|=6
（1）若

OA

•

OB

=12，求|

OA

|，|

OB

|；
（2）求

OA

•

OB

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由向量的模|

OA

-

OB

|=6及數(shù)量積推出模的平方和，解方程組，求得結論．
（2）利用數(shù)量積的表達式，及

OA

2-2

OA

•

OB

+

OB

2=36，利用基本不等式求其最值．

解答：解：（1）∵|

OA

-

OB

|=6，
∴

OA

2-2

OA

•

OB

+

OB

2=36
又∵

OA

•

OB

=12，
∴

OA

2+

OB

2=60，|

OA

|•|

OB

|=24
∴

OA =2 3 OB |=4 3

或

OA |=4 3 OB |=2 3

．

（2）

OA

•

OB

=

OA

|•|

OB

|cos∠POQ=

1

2

|

OA

|•|

OB

|
又∵

OA

2-2

OA

•

OB

+

OB

2=36
∴

OA

2-|

OA

|•|

OB

|+

OB

2=36
而

OA

2+

OB

2≥2  |

OA

|•|

OB

|
∴|

OA

|•|

OB

|≤36當且僅當|

OA

|=|

OB

|=6時取等號
即

OA

•

OB

的最大值為18

點評：本題考查向量的數(shù)量積，向量的模，基本不等式等知識，是中檔題．