Question

直線

x

4

+

y

3

=1與橢圓

x2

16

+

y2

9

=1相交于A，B兩點，該橢圓上點P使△PAB的面積等于6，這樣的點P有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：聯解直線與橢圓方程，得A（4，0）、B（0，3），得|AB|=5，結合△PAB的面積等于6算出P到AB的距離為d為

12

5

．然后求出與已知直線平行，且與橢圓相切的直線l₁與l₂，算出兩條直線一條與橢圓有兩個交點而另一條與橢圓無交點，由此即可得到使△PAB的面積等于6的點P有2個．

解答：解：聯解直線

x

4

+

y

3

=1與橢圓

x2

16

+

y2

9

=1，得

x=4 y=0

或

x=0 y=3

∴直線與橢圓的交點為A（4，0）和B（0，3），得|AB|=

42+32

=5
設點P到AB的距離為d，則S_△PAB=

1

2

×|AB|×d=6
即

1

2

×5×d=6，解之得d=

12

5

再設平行于直線

x

4

+

y

3

=1與橢圓相切的直線為3x+4y+m=0
與橢圓

x2

16

+

y2

9

=1聯解，可得m=±12

2

由此可得兩條平行于直線

x

4

+

y

3

=1的切線分別為
l₁：3x+4y+12

2

=0和l₂：3x+4y-12

2

=0
∵l₁與直線

x

4

+

y

3

=1的距離d₁=

|12 2 -12|

32+42

=

12

5

（

2

-1）＜

12

5

l₂直線

x

4

+

y

3

=1的距離d₂=

|12 2 +12|

32+42

=

12

5

（

2

+1）＞

12

5

∴l₁與l₂中，l₁與橢圓

x2

16

+

y2

9

=1相交，有兩個交點，
而l₂橢圓

x2

16

+

y2

9

=1相離，沒有交點．因此有兩個P點使△PAB的面積等于6
故選：B

點評：本題給出直線與橢圓相交于A、B，求橢圓上點P，滿足使△PAB的面積等于6的點的個數．著重考查了橢圓的幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系和點到直線的距離公式等知識，屬于中檔題．