Question

（2013•河東區二模）已知函數f（x）=sinxcos?+cosxsin?（其中x∈R，0＜φ＜π），且函數y=f(2x+

π

4

)的圖象關于直線x=

π

6

對稱．
（I）求f（x）的最小正周期及φ的值；
（Ⅱ）若f(α-

2π

3

)=

2

4

，求sin2α的值．

Answer 1

分析：（I）f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，求出最小正周期，由確定出的函數解析式，利用對稱軸公式列出關系式，將x=

π

6

代入即可求出φ的值；
（Ⅱ）由第一項確定的函數解析式，根據已知的等式，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，兩邊平方后，利用同角三角函數間的基本關系及二倍角的正弦函數公式即可求出sin2α的值．

解答：解：（I）∵f（x）=sin（x+φ），∴f（x）的最小正周期為2π，
∵y=f（2x+

π

4

）=sin（2x+

π

4

+φ），y=sinx的對稱軸為x=kπ+

π

2

（k∈Z），
∴令2x+

π

4

+φ=kπ+

π

2

，將x=

π

6

代入得：φ=kπ-

π

12

（k∈Z），
∵0＜φ＜π，∴φ=

11π

12

；
（Ⅱ）∵f（α-

2π

3

）=sin（α-

2π

3

+

11π

12

）=sin（α+

π

4

）=

2

2

（sinα+cosα）=

2

4

，
∴sinα+cosα=

1

2

，
兩邊平方得：1+2sinαcosα=1+sin2α=

1

4

，
則sin2α=-

3

4

．

點評：此題考查了三角函數的周期性及其求法，以及三角函數的恒等變換，熟練掌握公式是解本題的關鍵．