Question

【題目】如圖，四棱錐中， ，且平面， 為棱的中點．

(1)求證： ∥平面;

(2)求證：平面平面;

(3)當四面體的體積最大時，判斷直線與直線是否垂直，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】試題分析：（1）取線段的中點，利用平幾知識得四邊形是平行四邊形,得，再根據線面平行判定定理得結論，（2）先根據等腰三角形性質得.再根據線面垂直性質得，由線面垂直判定定理得平面.即得平面.最后根據面面垂直判定定理得結論，（3）先根據體積公式得時體積最大.再根據線面垂直得. 由線面垂直判定定理得平面，即得

試題解析：

（1）證明：取線段的中點，連接.

因為為棱的中點，

所以在中， .

又， ,所以.

所以四邊形是平行四邊形, 所以.

又平面, 平面,所以平面.

（2）因為, 為中點,所以.

又平面, 平面,所以

又,所以平面.

又，所以平面.

因為平面,所以平面平面.

（3）.

設，

則四面體的體積 .

當，即時體積最大.

又平面, 平面,所以.

因為,所以平面.

因為平面，所以.