Question

已知等比數列{a_n}的所有項均為正數，首項a₁＝1，且a_4,3a₃，a₅成等差數列．
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)數列{a_n＋1－λa_n}的前n項和為S_n，若S_n＝2ⁿ－1(n∈N^*)，求實數λ的值．

Answer 1

（1）a_n＝2^n－1(n∈N^*)．（2）λ＝1

(1)設數列{a_n}的公比為q，由條件可知q^3,3q²，q⁴成等差數列，∴6q²＝q³＋q⁴，∴6＝q＋q²，
解得q＝－3或q＝2，∵q＞0，∴q＝2，
∴數列{a_n}的通項公式為a_n＝2^n－1(n∈N^*)．
(2)記b_n＝a_n＋1－λa_n，則b_n＝2ⁿ－λ·2^n－1＝(2－λ)2^n－1，
若λ＝2，則b_n＝0，S_n＝0，不符合條件；
若λ≠2，則＝2，數列{b_n}為等比數列，首項為2－λ，公比為2，
此時S_n＝ (1－2ⁿ)＝(2－λ)(2ⁿ－1)，
∵S_n＝2ⁿ－1(n∈N^*)，∴λ＝1.