Question

如圖，某海域中有甲、乙兩艘測量船分別停留在相距（

6

+

2

）海里的M，N兩地，他們在同時觀測島嶼上中國移動信號塔AB，設塔底延長線與海平面交于點O．已知點M在點O的正東方向，點N在點O的南偏西15°方向，ON=2

2

海里，在M處測得塔底B和塔頂A的仰角分別為30°和60°．
（1）求信號塔AB的高度；
（2）乙船試圖在線段ON上選取一點P，使得在點P處觀測信號塔AB的視角最大，請判斷這樣的點P是否存在，若存在，求出最大視角及OP的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由條件可得∠MON=105°，在△MON中，由正弦定理求得sin∠OMN=

2

2

，∠OMN=45°，可得∠ONM=30°．再由正弦定理求得OM 的值，解直角三角形求出OA和OB的值，可得AB的值．
（2）假設存在符合條件的點P，令OP=x，0＜x≤2

2

，設∠OPA=α，∠OPB=β，可得視角θ=α-β，tanα 和 tanβ 的解析式，再由tanθ=tan（α-β），利用兩角差的正切公式求出tanθ的最大值，并求出此時x的值．

解答：解：（1）由條件可得∠MON=105°，在△MON中，由正弦定理可得

MN

sin∠MON

=

ON

sin∠OMN

，
即

6 +  2

sin105°

=

2 2

sin∠OMN

，解得 sin∠OMN=

2

2

，∠OMN=45°，∴∠ONM=30°．
再由

OM

sin∠ONM

=

ON

sin∠OMN

 求得OM=2．
∵在M處測得塔底B和塔頂A的仰角分別為30°和60°，∴OB=

2

3

=

2 3

3

，OA=2

3

，∴AB=

4 3

3

，
即信號塔AB的高度為

4 3

3

海里．
（2）假設存在符合條件的點P，令OP=x，0＜x≤2

2

，設∠OPA=α，∠OPB=β，
∴視角θ=α-β，tanα=

2 3

x

，tanβ=

2 3

3x

．
∴tanθ=tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanα•tanβ

=

4 3

3

×

1

x+ 4 x

．
由于x＞0，∴x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，當且僅當x=2時，等號成立，故tanθ≤

3

3

．
綜上可得，滿足條件的點P存在．

點評：本題主要考查正弦定理的應用，兩角差的正切公式、基本不等式的應用，屬于中檔題．