Question

已知E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊AD，AB的中點(diǎn)，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．
（1）求證：EF⊥平面GMC．
（2）若AB=4，GC=2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離．

Answer 1

分析：（1）連接BD交AC于O，由正方形的幾何特點(diǎn)，三角形的中位線定理，及已知中GC垂直于ABCD所在平面，我們易得到EF⊥AC，EF⊥GC，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到EF⊥平面GMC．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，求了平面GEF的法向量

n

，和平面GEF上任一點(diǎn)與O點(diǎn)連線的方向向量，如向量

BE

，代入距離公式d=

n • BE

| n |

，即可得到答案．

解答：解：（1）連接BD交AC于O，
∵E，F(xiàn)是正方形ABCD邊AD，AB的中點(diǎn)，AC⊥BD，
∴EF⊥AC．
∵GC垂直于ABCD所在平面
EF?平面ABCD
∴EF⊥GC
∵AC∩GC=C，…（6分）
∴EF⊥平面GMC．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則G（0，0，2），E（4，2，0），F(xiàn)（2，4，0），B（4，0，0）
∴向量

GE

=（4，2，-2），向量

EF

=（-2，2，0）
設(shè)面GEF的法向量

n

=（x，y，z）
則

GE

•

n

=0且

EF

•

n

=0
即4x+2y-2z=0且-2x+2y=0
取x=1時(shí)，向量

n

=（1，1，3）
又∵向量

BE

=（0，2，0）
則B到面GEF的距離d=

n • BE

| n |

=

2 11

11

…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判定，點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，其中（1）的關(guān)鍵是證得EF⊥AC，EF⊥GC，（2）中關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，利用距離公式d=

n • BE

| n |

進(jìn)行求解．