已知函數
（
為常數）．
（1）當
時，求
的單調遞減區間；
（2）若
，且對任意的
，
恒成立，求實數的取值范圍.
（1）函數
的單調遞減區間為
；（2）實數
的取值范圍是
.
【解析】
試題分析：（1）將
代入函數解析式并求出相應的導數，利用導數并結合函數的定義域便可求出函數的單調遞減區間；（2）構造新函數
，將問題轉化為“對任意
時，
恒成立”，進而轉化為
，圍繞這個核心問題結合分類討論的思想求出參數的取值范圍.
試題解析：（1）的定義域為
，
，
當時，
，
2分
由
及
，解得
，所以函數的單調遞減區間為 4分
（2）設
，
因為對任意的，
恒成立，所以恒成立，
，
因為
，令
，得
，
，
7分
①當
，即
時，
因為
時，
，所以
在
上單調遞減，
因為對任意的，恒成立，
所以時，
，即
，
解得
，因為
。所以此時不存在；
10分
②當
，即
時，因為
時，
，
時，，
所以在
上單調遞增，在
上單調遞減，
因為對任意的，恒成立，所以
，且
，
即，解得，
因為
，所以此時
；
13分
③當
，即
時，因為時，，
所以在上單調遞增，由于，符合題意；
15分
綜上所述，實數的取值范圍是
16分
考點：函數的單調區間與導數、不等式恒成立、分類討論
黃岡課堂作業本系列答案
單元加期末復習先鋒大考卷系列答案科目：高中數學 來源：2013-2014學年江蘇蘇北四市高三第一次質量檢測理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數
（
為常數），其圖象是曲線
．
（1）當
時，求函數
的單調減區間；
（2）設函數
的導函數為
，若存在唯一的實數
，使得
與
同時成立，求實數
的取值范圍；
（3）已知點
為曲線
上的動點，在點
處作曲線
的切線
與曲線
交于另一點
，在點
處作曲線
的切線
，設切線
的斜率分別為
．問：是否存在常數
，使得
？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源：2016屆浙江省寧波市八校高一上學期期末聯考數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數
（
為常數，且
）.
（1）當
時，求函數
的最小值（用
表示）；
（2）是否存在不同的實數
使得
，
，并且
，若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源：2012-2013學年河南省南陽市高三9月月考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
（本小題滿分10分）
已知函數
（
為常數,
且
）的圖象過點
.
（1）求實數的值;
（2）若函數
,試判斷函數
的奇偶性,并說明理由.
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科目：高中數學 來源：2011年廣東省高二上學期段考數學卷 題型：解答題
已知函數
（
為常數，
），滿足
，且
有兩個相同的解。
（1）求
的表達式；
（2）設數列
滿足
，且
，求證：數列
是等差數列。
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科目：高中數學 來源：2010-2011學年吉林省高三第一次模擬考試理科數學卷 題型：解答題
（本小題滿分12分）
已知函數
（
為常數），直線l與函數
的圖象都相切，且l與函數
的圖象的切點的橫坐標為l．
（Ⅰ）求直線l的方程及a的值；
（Ⅱ）當k＞0時，試討論方程
的解的個數．
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