Question

一個三角形數表按如下方式構成：第一行依次寫上n（n≥4）個數，在上一行的每相鄰兩數的中間正下方寫上這兩數之和，得到下一行，依此類推．記數表中第i行的第j個數為f（i，j）．
（1）若數表中第i （1≤i≤n-3）行的數依次成等差數列，
求證：第i+1行的數也依次成等差數列；
（2）已知f（1，j）=4j，求f（i，1）關于i的表達式；
（3）在（2）的條件下，若f（i，1）=（i+1）（a_i-1），b_i=

1

aiai+1

，試求一個函數f（x），使得S_n=b₁g（1）+b₂g（2）+…+b_ng（n）＜

1

3

，且對于任意的m∈（

1

4

，

1

3

），均存在實數λ?，使得當n＞?λ時，都有S_n＞m．

Answer 1

分析：（1）易知數表中第i+1行的數依次所組成數列的通項為f（i+1，j），再由等差數列定義證明；
（2）f（1，j）=4j由（1）知，第2行的數也依次成等差數列，依此類推可求解；
（3）由f（i，1）=（i+1）（a_i-1），可得a_i進而求得b_i，令g（i）=2ⁱ，求得s_n放縮探求．

解答：解：（1）數表中第i+1行的數依次所組成數列的通項為f（i+1，j），
則由題意可得f（i+1，j+1）-f（i+1，j）
=[f（i，j+1）+f（i，j+2）]-[f（i，j）+f（i，j+1）]
=f（i，j+2）-f（i，j）=2d（其中d為第i行數所組成的數列的公差）（4分）

（2）∵f（1，j）=4j
∴第一行的數依次成等差數列，
由（1）知，第2行的數也依次成等差數列，依此類推，
可知數表中任一行的數（不少于3個）都依次成等差數列．
設第i行的數公差為d_i，則d_i+1=2d_i，則d_i=d₁×2^i-1=4×2^i-1=2ⁱ⁺¹
所以f（i，1）=f（i-1，1）+f（i-1，2）=2f（i-1，1）+2ⁱ
=2[2f（i-2，1）+2^i-1]+2ⁱ=2²f（i-2，1）+2×2ⁱ
=2^i-1f（1，1）+（i-1）×2ⁱ=2^i-1×4+（i-1）×2ⁱ=2ⁱ⁺¹+（i-1）×2ⁱ=（i+1）×2ⁱ（10分）

（3）由f（i，1）=（i+1）（a_i-1），可得ai=

f(i，1)

i+1

+1=2i+1
所以bi=

1

aiai+1

=

1

(2i+1)(2i+1+1)

=

1

2i

(

1

2i+1

-

1

2i+1+1

)
令g（i）=2ⁱ，則big(i)=

1

2i+1

-

1

2i+1+1

，所以Sn=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

要使得S_n＞m，即

1

3

-

1

2n+1+1

＞m，只要

1

2n+1+1

＜

1

3

-m=

1-3m

3

，
∵m∈(

1

3

，

1

4

)，∴0＜1-3m＜

1

4

，所以只要2n+1+1＞

3

1-3m

，
即只要n＞log2(

3

1-3m

-1)-1，所以可以令λ=log2(

3

1-3m

-1)-1
則當n＞λ時，都有S_n＞m．所以適合題設的一個函數為g（x）=2^x（16分）

點評：本題通過數表考查等差數列的通項公式及定義．