Question

若在曲線f（x，y）=0（或y=f（x））上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線線f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切線，下列方程的曲線：①x²-y²=1；②y=3sinx+4cosx；③y=x²-|x|；④|x|+1=，存在自公切線的是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

Answer 1

【答案】分析：通過畫出函數圖象，觀察其圖象是否滿足在其上圖象上是否存在兩個不同點處的切線重合，從而確定是否存在自公切線，從而得到結論．
解答：解：x²-y²=1為等軸雙曲線，不存在自公切線，故①不存在；函數y=3sinx+4cosx的一條自公切線為y=5，故②存在；
函數 y=x²-|x|的圖象如下左圖顯然滿足要求，故③存在；對于方程|x|+1=，其表示的圖形為圖中實線部分，不滿足要求，故④不存在．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及新定義自公切線，題目比較新穎，解題的關鍵是理解新的定義，同時考查了數形結合的思想，屬于中檔題．