Question

設函數f(x)=

1

3

x3-mx2+(m2-4)x， x∈R．
（Ⅰ）當m=3時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數f（x）有三個不相同的零點0，α，β（α＜β），且對任意的x∈[α，β]，都有不等式f（x）≥f（1）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據曲線的解析式求出導函數，把P的橫坐標代入導函數中即可求出切線的斜率，根據P的坐標和求出的斜率寫出切線的方程即可；
（II）本小題利用導數來研究恒成立問題．先求出f（x）的導數，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，利用單調性結合函數的圖象研究函數f（x）的零點分布問題，最后轉化為一個一元二次方程的根的分布問題．

解答：解：（Ⅰ）當m=3時，f(x)=

1

3

x3-3x2+5x，則f'（x）=x²-6x+5．
又∵f(2)=

2

3

，f′(2)=-3
∴切點為(2，

2

3

)，切線斜率為-3
故切線方程為y-

2

3

=-3(x-2)．
即切線方程為9x+3y-20=0．
（Ⅱ）f'（x）=x²-2mx+m²-4，故令f'（x）=0，可得x=m-2，或x=m+2．
當x∈（-∞，m-2）時，f'（x）＞0，故f（x）在區間（-∞，m-2）上遞增．
當x∈（m-2，m+2）時，f'（x）＜0，故f（x）在區間（m-2，m+2）上遞減．
當x∈（2+m，+∞）時，f'（x）＞0，故f（x）在區間（2+m，+∞）上遞增．
由于函數f（x）有三個不同的零點0，α，β（α＜β），且f(x)=

1

3

x[x2-3mx+3(m2-4)]，∴

3(m2-4)≠0 (3m)2-12(m2-4)＞0

解得m∈（-4，-2）∪（-2，2）∪（2，4）
①當m∈（-4，-2）時，m-2＜m+2＜0，故α＜m-2＜β＜m+2＜0
由f（1）＞f（α）=0，可知此時不存在符合條件的實數m．
②當m∈（-2，2）時，③m-2＜0＜m+2，故α＜m-2＜0＜m+2＜β．
由于f（x）在區間[α，β]內的最小值為f（m+2），
∴只要f（m+2）=f（1）．就有x∈[α，β]時，總有f（x）≥f（1）成立．
∴只要m+2=1，∴m=-1．
③當x∈（2，4）時，0＜m-2＜m+2，故0＜m-2＜α＜m+2＜β．用與②相同的方法，
可得m+2=1，即m=-1，但-1∈（2，4），此時不存在符合條件的實數m
綜上可知，實數m的值為-1．

點評：本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、函數單調性的應用、利用導數求閉區間上函數的最值、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想、分類討論思想．