【題目】狄利克雷函數為F(x)
.有下列四個命題：①此函數為偶函數，且有無數條對稱軸；②此函數的值域是
；③此函數為周期函數，但沒有最小正周期；④存在三點
，使得△ABC是等腰直角三角形，以上命題正確的是（ ）
A.①②B.①③C.③④D.②④
【答案】B
【解析】
①根據奇偶性定義和對稱軸對應的表達式進行判斷；②根據
的取值得到值域；③根據周期性的定義進行分析；④先假設存在，然后推理證明是否存在.
①的定義域為
關于原點對稱，當
為有理數時，
，當為無理數時，
，
所以
恒成立，所以是偶函數，
取非零有理數
，當為有理數時，
，當為無理數時，，
所以恒成立，有無數種可能，所以有無數條對稱軸；
②因為的取值只有
，所以的值域為
；
③取有理數
，當為有理數時，
，當為無理數時，
，
所以
恒成立，有無數種可能，所以是周期函數且無最小正周期；
④設存在
滿足條件，
根據函數值域可知，
的可能組合為：兩個有理數一個無理數、兩個無理數一個有理數，
(1)不妨設
為有理數，
為無理數，因為
為等腰直角三角形，所以
只能為的斜邊，
所以
，所以為有理數，與假設矛盾，故不成立；
(2)不妨設為無理數，為有理數，因為為等腰直角三角形，所以只能為的斜邊，
所以，所以為無理數，與假設矛盾，故不成立，
綜上可知：不存在三點使得為等腰直角三角形.
故選：B.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，
平面
，底面是直角梯形，其中
，
，
，
，
為棱
上的點，且
．
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）設
為棱
上的點（不與
，
重合），且直線
與平面所成角的正弦值為
，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
中，
，前
項和為
，且
.
（1）求
，
的值；
（2）證明：數列是等差數列，并寫出其通項公式；
（3）設
（
），試問是否存在正整數
，
（其中
，使得
，
，
成等比數列？若存在，求出所有滿足條件的數對
；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的右焦點為
，且點
在橢圓
上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）當點
在橢圓的圖像上運動時，點
在曲線
上運動，求曲線的軌跡方程，并指出該曲線是什么圖形；
（3）過橢圓
上異于其頂點的任意一點
作曲線的兩條切線，切點分別為
不在坐標軸上），若直線
在
軸，
軸上的截距分別為
試問：
是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩名射擊運動員在進行射擊訓練，已知甲命中10環，9環，8環的概率分別是
，，，乙命中10環，9環，8環的概率分別是
，
，
，任意兩次射擊相互獨立.
（1）求甲運動員兩次射擊命中環數之和恰好為18的概率；
（2）現在甲、乙兩人進行射擊比賽，每一輪比賽兩人各射擊1次，環數高于對方為勝，環數低于對方為負，環數相等為平局，規定連續勝利兩輪的選手為最終的勝者，比賽結束，求恰好進行3輪射擊后比賽結束的概率
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【題目】海水稻就是耐鹽堿水稻，是一種介于野生稻和栽培稻之間的普遍生長在海邊灘涂地區的水稻，具有抗旱抗澇、抗病蟲害、抗倒伏抗鹽堿等特點.近年來，我國的海水稻研究取得了階段性成果，目前已開展了全國大范圍試種.某農業科學研究所分別抽取了試驗田中的海水稻以及對照田中的普通水稻各
株，測量了它們的根系深度（單位：
），得到了如下的莖葉圖，其中兩豎線之間表示根系深度的十位數，兩邊分別是海水稻和普通水稻根系深度的個位數，則下列結論中不正確的是（ ）
A.海水稻根系深度的中位數是
B.普通水稻根系深度的眾數是
C.海水稻根系深度的平均數大于普通水稻根系深度的平均數
D.普通水稻根系深度的方差小于海水稻根系深度的方差
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
已知橢圓
的左、右焦點分別為
，
，點
是橢圓的一個頂點，△
是等腰直角三角形．
（1）求橢圓
的方程；
（2）設點
是橢圓上一動點，求線段
的中點
的軌跡方程；
（3）過點
分別作直線
，
交橢圓于
，
兩點，設兩直線的斜率分別為
，
，
且
，探究：直線
是否過定點，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，A、B是海岸線OM、ON上兩個碼頭，海中小島有碼頭Q到海岸線OM、ON的距離分別為
、
，測得
，
，以點O為坐標原點，射線OM為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系，一艘游輪以
小時的平均速度在水上旅游線AB航行（將航線AB看作直線，碼頭Q在第一象限，航線BB經過點Q）.
（1）問游輪自碼頭A沿
方向開往碼頭B共需多少分鐘？
（2）海中有一處景點P（設點P在
平面內，
，且
），游輪無法靠近，求游輪在水上旅游線AB航行時離景點P最近的點C的坐標.
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