Question

【題目】已知函數f（x）=loga（1﹣x）﹣loga（1+x）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）求滿足不等式f（x）＜0的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：解 得，﹣1＜x＜1；

∴f（x）的定義域為（﹣1，1）

（2）解：f（﹣x）=loga（1+x）﹣loga（1﹣x）=﹣f（x）；

∴f（x）為奇函數

（3）解：由f（x）＜0得，loga（1﹣x）＜loga（1+x）；

①若a＞1，則：

；

∴0＜x＜1；

即f（x）＜0的x的取值范圍為（0，1）；

②若0＜a＜1，則：

；

∴﹣1＜x＜0；

即f（x）＜0的x的取值范圍為（﹣1，0）

【解析】（1）只需解不等式組 即可得出f（x）的定義域；（2）求f（﹣x）即可得到f（﹣x）=﹣f（x），從而得出f（x）為奇函數；（3）討論a：a＞1，和0＜a＜1，根據f（x）的定義域及對數函數的單調性即可求得每種情況下原不等式的解．
【考點精析】本題主要考查了奇偶性與單調性的綜合的相關知識點，需要掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性才能正確解答此題．