Question

設函數f（x）=sin（

πx

4

-

π

6

）-2cos²

πx

8

+1．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）設函數g（x）=f（2-x），求當x∈[0，

4

3

]時，函數g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差的三角函數直接化簡函數的表達式為一個角的一個三角函數的形式，即可求f（x）的最小正周期．
（2）通過g（x）=f（2-x），化簡g（x）的表達式，利用x∈[0，

4

3

]，求出相位的范圍，利用余弦函數的值域求解函數g（x）的最大值．

解答：（本題滿分14分）
解：（1）函數f（x）=sin（

πx

4

-

π

6

）-2cos²

πx

8

+1
=

3

2

sin

πx

4

-

1

2

cos

πx

4

-cos

πx

4

=

3

2

sin

πx

4

-

3

2

cos

πx

4

=

3

sn（

πx

4

-

π

3

）…（4分）
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

π 4

=8…（6分）
（2）由題意得：g（x）=f（2-x）=

3

sn[

π

4

(2-x)-

π

3

]=

3

cos(

πx

4

+

π

3

)
當0≤x≤

4

3

時，

π

3

≤

πx

4

+

π

3

≤

2π

3

，
因此y=g（x）在區間[0，

4

3

]上的最大值為：

3

cos

π

3

=

3

2

．…（14分）

點評：本題考查兩角和與差的三角函數，正弦函數的周期余弦函數的值域的求法，考查計算能力．