Question

設等比數列{a_n}的前n項和為S_n，等差數列b_n的前n項和為T_n，已知S_n=2ⁿ⁺¹-c+1（其中c為常數），b₁=1，b₂=c．
（1）求常數c的值及數列{a_n}，b_n的通項公式a_n和b_n．
（2）設，設數列d_n的前n項和為D_n，若不等式m≤D_n＜k對于任意的n∈N^*恒成立，求實數m的最大值與整數k的最小值．
（3）試比較與2的大小關系，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設知，S_n-1=2ⁿ-c+1，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ（n≥2），所以a₁=2¹=2；另一方面，當n=1時，a₁=S₁=2²-c+1=5-c，所以c=3，
從而b_n=2n-1．
（2）由，知D_n=d₁+d₂+d₃+d₄+…+d_n-1+d_n，再用錯位相減法求出．然后利用D_n是單調遞增的，求實數m的最大值和整數k的最小值．
（3）由b_n=2n-1得T_n=n²，，所以由裂項求和法知＜2．
解答：解：（1）由題可得當n≥2時，S_n-1=2ⁿ-c+1
從而a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ（n≥2），
又由于{a_n}為等比數列，所以a_n=2ⁿ（n∈N^*），
所以a₁=2¹=2；另一方面，當n=1時，a₁=S₁=2²-c+1=5-c
所以c=3，從而b_n=2n-1

（2）由（1）得
所以D_n=d₁+d₂+d₃+d₄++d_n-1+d_n①
從而②
①-②得
解得
由于D_n是單調遞增的，且，所以D₁≤D_n＜3，即
所以實數m的最大值為，整數k的最小值為3．

（3）由b_n=2n-1可求得T_n=n²，
當n≥2時，
所以=
所以＜2
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，注意裂項求和法的運用．