Question

如圖，雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

5

2

，F1、F₂分別為左、右焦點，M為左準線與漸近線在第二象限內的交點，且

F1M

.

F2M

=-

1

4

．
（I）求雙曲線的方程；
（II）設A（m，0）和B(

1

m

，0)（0＜m＜1）是x軸上的兩點．過點A作斜率不為0的直線l，使得l交雙曲線于C、D兩點，作直線BC交雙曲線于另一點E．證明直線DE垂直于x軸．中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和．

Answer 1

分析：（I）設點M（x，y），根據題設條件聯立方程求得M的坐標，根據

F1M

.

F2M

=-

1

4

.求得a，b和c的關系利用a²+b²=c²求得c，b和a，答案可得．
（II）設點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），E（x₃，y₃），則可表示出直線l的方程，直線與雙曲線聯立方程，可求得x₁x₂的表達式，求得x₂的表達式，同理可求得x₃的表達式，最后得出以x₂=x₃，判斷出故直線DE垂直于x軸．

解答：（I）解：根據題設條件，F₁（-c，0），F₂（c，0）．
設點M（x，y），則x、y滿足

x=- a2 c y=- b a x.

因e=

c

a

=

5

2

，解得M(-

2a

5

，

2b

5

)，
故

F1M

.

F2M

=(-

2a

5

+c，

2b

5

)．(-

2a

5

-c，

2b

5

)=

4

5

a2-c2+

4

5

b2=-

1

4

.
利用a²+b²=c²，得c2=

5

4

，于是a2=1，b2=

1

4

.
因此，所求雙曲線方程為x²-4y²=1．

（II）解：設點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），E（x₃，y₃），則直線l的方程為y=

y1

x1-m

(x-m).
于是C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）兩點坐標滿足

y= y1 x1-m (x-m)① x2-4y2=1②

將①代入②得（x₁²-2x₁m+m²-4y₁²）x²+8my₁²x-4y₁²m²-x₁²+2mx₁-m²=0．
由已知，顯然m²-2x₁m+1≠0．于是x1x2=-

x12-2mx1+m2x12

m2-2x1m+1

.
因為x₁≠0，得x2=-

x1-2m+m2x1

m2-2x1m+1

.
同理，C（x₁，y₁）、E（x₃，y₃）兩點坐標滿足

y= y1 x1- 1 m (x- 1 m ) x2-4y2=1.

可解得x3=-

x1-2 1 m +( 1 m )2x1

( 1 m )2-2x1m+1

=-

m2x1-2m+x1

1-2x1m+m2

.
所以x₂=x₃，故直線DE垂直于x軸．

點評：本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線方程、平面向量、曲線和方程的關系等解析幾何的基礎知識和基本思想方法，考查推理及運算能力．