Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2，MA，NC都垂直于平面ABCD，且MA=2NC=2．
（Ⅰ）證明：MC⊥BD；
（Ⅱ）求直線BN與平面ACNM所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）連接BD交AC于點O，只需證明BD⊥平面ACNM；
（2）連接ON，可證∠ONB為直線BN與平面ACNM所成角，通過解直角三角形可求；

解答：證明：（1）連接BD交AC于點O，
∵ABCD為正方形，∴BD⊥AC，
∵MA⊥平面ABCD，∴MA⊥BD，
又MA∩AC=A，∴BD⊥平面ACNM，
MC?平面ACNM，∴BD⊥AC；
（2）連接ON，由（1）知，BO⊥平面ACNM，
∴∠ONB為直線BN與平面ACNM所成角，
在Rt△BCN中，BN=

5

，在Rt△BON中，BO=

2

，
所以sin∠ONB=

10

5

，即直線BN與平面ACNM所成角的正弦值為

10

5

；

點評：本題考查線面角的求解、空間兩直線垂直的證明，屬中檔題．