Question

（2012•武昌區模擬）已知數列{a_n}，{b_n}滿足：a₁=3，當n≥2時，a_n-1+a_n=4n；對于任意的正整數n，b1+2b2+…+2n-1bn=nan．設{b_n}的前n項和為S_n．
（Ⅰ）計算a₂，a₃，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求滿足13＜S_n＜14的n的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在a_n-1+a_n=4n中，取n=2，得a₁+a₂=8，又a₁=3，故a₂=5．同樣可得a₃=7．由a_n-1+a_n=4n及a_n+1+a_n=4（n+1）兩式相減可得：a_n+1-a_n-1=4，所以數列{a_n}的奇數項和偶數項各自成等差數列，公差為4，而a₂-a₁=2，故{a_n}是公差為2的等差數列，故可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用b1+2b2+…+2n-1bn=nan，令n=1得b₁=a₁=3，b1+2b2+…+2nbn+1=(n+1)an+1，與b1+2b2+…+2n-1bn=nan兩式相減可得：2ⁿb_n+1=（n+1）a_n+1-na_n=（n+1）（2n+3）-n（2n+1）=4n+3，，從而可求{b_n}的通項公式，再利用錯位相減法求和，即可得出結論．

解答：解：（Ⅰ）在a_n-1+a_n=4n中，取n=2，得a₁+a₂=8，又a₁=3，故a₂=5．
同樣取n=3，可得a₂+a₃=12，∴a₃=7．（2分）
由a_n-1+a_n=4n及a_n+1+a_n=4（n+1）兩式相減可得：a_n+1-a_n-1=4，
所以數列{a_n}的奇數項和偶數項各自成等差數列，公差為4，而a₂-a₁=2，故{a_n}是公差為2的等差數列，
∴a_n=2n+1．（5分）
（Ⅱ）在b1+2b2+…+2n-1bn=nan中，令n=1得b₁=a₁=3．（6分）
又b1+2b2+…+2nbn+1=(n+1)an+1，與b1+2b2+…+2n-1bn=nan
兩式相減可得：2ⁿb_n+1=（n+1）a_n+1-na_n=（n+1）（2n+3）-n（2n+1）=4n+3，
∴bn+1=

4n+3

2n

，即當n≥2時，bn=

4n-1

2n-1

經檢驗，b₁=3也符合該式，所以，{b_n}的通項公式為bn=

4n-1

2n-1

（9分）
Sn=3+7•

1

2

+…+(4n-1)•(

1

2

)n-1．

1

2

Sn=3•

1

2

+7•(

1

2

)2+…+(4n-5)•(

1

2

)n-1+(4n-1)•(

1

2

)n．
相減可得：

1

2

Sn=3+4[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]-(4n-1)•(

1

2

)n
利用等比數列求和公式并化簡得：Sn=14-

4n+7

2n-1

（11分）
可見，?n∈N₊，S_n＜14（12分）
經計算，S5=14-

27

16

＜13，S6=14-

31

32

＞13，
注意到 {b_n}的各項為正，故S_n單調遞增，所以滿足13＜S_n＜14的n的集合為{n|n≥6，n∈N}．（14分）

點評：本題考查數列與不等式的綜合，考查數列通項公式的求解，不等式的解法，考查轉化思想，計算能力．