Question

（2012•成都一模）設函數f（x）=ax³+bx²+cx，記f（x）的導函數是f^′（x）．
（I）當a=-1，b=c=-1時，求函數f（x）的單調區間；
（II）當c=-a²（a＞0）時，若函數f（x）的兩個極值點x₁、x₂滿足|x₁-x₂|=2，求b的取值范圍；
（III）若a=-

1

3

令h（x）=|f^′（x）|，記h（x）在[-1，1]上的最大值為H，當b≥0，c∈R時，證明：H≥

1

2

．

Answer 1

分析：（I）把a=-1，b=c=-1代入函數f（x）=ax³+bx²+cx，對其進行求導，利用導數求函數f（x）的單調區間；
（II）把c=-a²（a＞0）時，代入函數f（x）=ax³+bx²+cx，可知x₁，x₂，是方程3ax²+2bx-a²=0，的兩個不等實數，根據根與系數的關系進行求解；
（III）把a=-

1

3

代入f（x），令h（x）=|f^′（x）|，對b進行分類討論：b＞1或0≤b≤1，利用絕對值的性質，求出H的范圍；

解答：解：（I）當a=1，b=c=-1時，f（x）=x³-x²-x，
∴f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1），
∴函數f（x）的單調區間為（-∞，-

1

3

）和（1，+∞）
單調減區間為（-

1

3

，1）；
（II）當c=-a²時，函數f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）
異知x₁，x₂，是方程3ax²+2bx-a²=0，的兩個不等實數，
∴x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁x₂=-

a2

3a

=-

a

3

，
∴|x₁-x₂|=

4b2 9a2 + 4a 3

=2，
∴即b²=-3a³+9a²，
∵b²=-3a³+9a²=-3a²（a-3）≥0，易知0＜a≤3；
設g（a）=-3a²（a-3），∴g′（a）=-9a²+18a=-9a（a-2），
∵g（a）在（2，3）上單調遞減，在（0，2）上單調遞減，
∴當0＜a≤3時，g（a）_max=g（2）=12；g（a）_min=g（3）=0，
∴b²≤12⇒b∈[-2

3

，2

3

]；
（III）∵a=-

1

3

，易知f′（x）=-x²+2bx+c，
∴h（x）=|f′（x）|=|-（x-b）²+b²+c|
①若b＞1，則f′（-1）≤f′（x）≤f′（1），
即f′（x）的最值在區間[-1，1]兩個端點處取得，
∴H≥h（1）且H≥h（-1），
∴2H≥h（1）+h（-1）=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|≥4b＞4，
∴當b＞1時，H＞2，
②若0≤b≤1，則f′（x）_max=f′（b），f′（x）_max=f′（-1），
∴H為h（-1）、h（b）中的最大值，
∴2H≥h（-1）+h（b）=|-1-2b+c|+|b²+c|≥（b+1）²，
又∵0≤b≤1，∴（b+1）²≥1，
∴H≥

1

2

，
綜上：對于任意的b≥0，c∈R，都有H≥

1

2

；

點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，一般求函數在閉區間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的，此題還考查了分類討論的思想，是一道中檔題；