Question

【題目】已知函數是定義域為的奇函數.

（1）求證：函數在上是增函數；

（2）不等式對任意的恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）先由函數為奇函數，可得，再利用定義法證明函數的單調性即可；

（2）結合函數的性質可將問題轉化為在上恒成立，再利用二次不等式恒成立問題求解即可.

解：（1）∵函數是定義域為的奇函數，

，，

等式對于任意的均恒成立，得，

則，

即，

設為任意兩個實數，且，

，

因為，則，

所以，即，

因此函數在上是增函數;

（2）由不等式對任意的恒成立，

則.由（1）知，函數在上是增函數，

則，即在上恒成立.令，，則在上恒成立.

①當時，即，可知，即，

所以；

②當時，即，可知.

即，所以；

③當時，即，可知，即，

所以，

綜上，當時，不等式對任意的恒成立.