Question

在棱長(zhǎng)均為2的正四棱錐P-ABCD中，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，則下列命題正確的是（　　）

• A、BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距離為

  3

• B、BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距離為

  2 6

  3

• C、BE與平面PAD不平行，且BE與平面PAD所成的角大于30°
• D、BE與平面PAD不平行，且BE與平面PAD所成的角小于30°

Answer 1

分析：連接AC，BD，交點(diǎn)為O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OD，OP方向分別x，y，z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，分別求出直線BE的方向向量與平面PAD的法向量，代入向量夾角公式，求出BE與平面PAD夾角的正弦值，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得到答案．

解答：解：連接AC，BD，交點(diǎn)為O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OD，OP方向分別x，y，z軸正方向建立空間坐標(biāo)系
由正四棱錐P-ABCD的棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，
則O（0，0，0），A（-

2

，0，0），B（0，-

2

，0），C（

2

，0，0），D（0，

2

，0），P（0，0，

2

），E（

2

2

，0，

2

2

）
則

BE

=（

2

2

，

2

，

2

2

），

PA

=（-

2

，0，-

2

），

PD

=（0，

2

，-

2

），
設(shè)

m

=（x，y，z）是平面PAD的一個(gè)法向量，則

m

⊥

PA

，且

m

⊥

PD

即

- 2 x- 2 z=0 2 y- 2 z=0

，令x=1
則

m

=（1，-1，-1）是平面PAD的一個(gè)法向量，
設(shè)BE與平面PAD所成的角為θ
則sinθ=|

m • BE

| m |•| BE |

|=

2

3

＜

1

2

故BE與平面PAD不平行，且BE與平面PAD所成的角小于30°
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，其中建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將直線與平面的夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．