Question

定義在[-1，1]上的奇函數，已知當x∈[-1，0]時的解析式f(x)=

1

4x

-

a

2x

(a∈R)
（1）寫出f（x）在[0，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數，其圖象經過坐標原點，則根據x∈[-1，0]時的解析式f(x)=

1

4x

-

a

2x

(a∈R)，構造關于a的方程，再結合奇函數的性質，求出函數f（x）在[0，1]上的解析式．
（2）根據（1）中函數的解析式，我們用換元法可將函數的解析式，轉化為一個二次函數的形式，我們分析出函數的單調性，進而求出f（x）在[0，1]上的最大值．

解答：解：（1）∵函數f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，
又∵f(x)=

1

4x

-

a

2x

(a∈R)
∴f(0)=

1

40

-

a

20

=1-a=0
解得a=1
即當x∈[-1，0]時的解析式f(x)=

1

4x

-

1

2x

當x∈[0，1]時，-x∈[-1，0]
∴f(-x)=

1

4-x

-

1

2-x

=4^x-2^x=-f（x）
∴f（x）=2^x-4^x（x∈[0，1]）
（2）由（1）得當x∈[0，1]時，f（x）=2^x-4^x
令t=2^x（t∈[1，2]）
則2^x-4^x=t-t²，
令y=t-t²（t∈[1，2]）
則易得當t=1時，y有最大值0
f（x）在[0，1]上的最大值為0

點評：本題的知識點是奇函數，函數的最值及其幾何意義，其中根據定義在[-1，1]上的奇函數，其圖象經過坐標原點，從而構造方程法度出參數a的值，進而求出函數的解析式，是解答本題的關鍵．