Question

在邊長為a的正三角形鐵皮的三個角切去三個全等的四邊形，再把它的邊沿虛線折起（如圖），做成一個無蓋的正三角形底鐵皮箱，當箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

分析：設箱底邊長為x，根據已知中箱子的制作方法，我們可求出容積V（x）的解析式，求出其導函數，分析其單調性，可得到函數的最值點，代入可得答案．

解答：解：設箱底邊長為x，則箱高為h=

3

3

×

a-x

2

（0＜x＜a），…（2分）
箱子的容積為V（x）=

1

2

x2×sin60°×h=

1

8

ax2-

1

8

x3（0＜x＜a），．              …（6分）
由V′（x）=

1

4

ax -

3

8

x2=0解得x=0（舍），x=

2

3

a，…（8分）
且當x∈（0，

2

3

a）時，V′（x）＞0；當x∈（

2

3

a，a）時，V′（x）＜0，
所以函數V（x）在x=

2

3

a處取得極大值，…（10分）
這個極大值就是函數V（x）的最大值：V（

2

3

a）=

1

8

a(

2

3

a)2-

1

8

(

2

3

a)3=

a3

54

．…（12分）
答：當箱子底邊長為

2

3

a時，箱子容積最大，最大值為

a3

54

．                …（14分）

點評：本題考查的知識點是棱柱的體積，導數法求最值，其中根據已知求出容積V（x）的解析式，是解答的關鍵．