Question

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為矩形，AB⊥BP，M為AC的中點(diǎn)，N為PD上一點(diǎn).

（1）若MN∥平面ABP，求證：N為PD的中點(diǎn)；

（2）若平面ABP⊥平面APC，求證：PC⊥平面ABP.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由線面平行性質(zhì)定理得MN∥BP，再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得N為PD的中點(diǎn).（2）過點(diǎn)B作BE⊥AP，則根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得BE⊥平面APC，即BE⊥PC.又易得AB⊥平面BPC，即AB⊥PC，最后根據(jù)線面垂直判定定理得PC⊥平面ABP

試題解析：（1）連接BD，由四邊形為矩形得：M為和的中點(diǎn)，∵MN∥平面ABP，MN平面BPD，平面BPD平面ABP＝BP，∴MN∥BP，∵M為AC的中點(diǎn)，∴N為PD的中點(diǎn).

（2）在△ABP中，過點(diǎn)B作BE⊥AP于E，∵平面ABP⊥平面APC，平面ABP∩平面APC＝AP，BE平面ABP，BE⊥AP

∴BE⊥平面APC， 又PC平面APC，∴BE⊥PC.∵ABCD為矩形，∴ AB⊥BC，又AB⊥BP，BC∩BP＝B，BC，BP 平面BPC，∴AB⊥平面BPC， ∴AB⊥PC，又BE⊥PC， AB平面ABP，BE平面ABP，AB∩BE＝B， ∴PC⊥平面ABP