Question

已知函數f(x)=

1

x

與g(x)=-x2+bx的圖象只有兩個公共點A、B，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求b，x₁及x₂的值．

Answer 1

分析：構造函數設F（x）=x³-bx²+1，則方程F（x）=0與f（x）=g（x）同解，可知其有且僅有兩個不同零點x₁，x₂．利用函數與導數知識求解．

解答：解：設F（x）=x³-bx²+1，則方程F（x）=0與f（x）=g（x）同解，故其有且僅有兩個不同零點x₁，x₂．
由F'（x）=0得x=0或x=

2

3

b．這樣，必須且只須F（0）=0或F（

2

3

b）=0，因為F（0）=1，故必有F（

2

3

b）=0，由此得b=

3

2

3	2

．
不妨設x₁＜x₂，則x₂=

2

3

b=

3	2

，所以 F（x）=（x-x₁）(x-

3	2

)2，比較系數得-x1

3	4

=1，故x₁=-

1

2

3	2

．
故b=

3

2

3	2

，x₁=-

1

2

3	2

，x₂=

2

3

b=

3	2

．

點評：本題考查的是函數圖象，但若直接利用圖象其實不易判斷，為此利用了構造函數的方法，利用函數與導數知識求解．要求具有轉化、分析解決問題的能力．題目立意較高，很好的考查能力．