Question

【題目】已知數列滿足，且.

（Ⅰ）證明：數列為等差數列，并求數列的通項公式；

（Ⅱ）若記為滿足不等式的正整數的個數，設，求數列的最大項與最小項的值.

【答案】(1)見解析;(2)最大項為，最小項為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）對兩邊取倒數，移項即可得出，故而數列為等差數列，利用等差數列的通項公式求出，從而可得出；（Ⅱ）根據不等式，，得，又，從而，當為奇數時，單調遞減，；當為偶數時單調遞增，綜上的最大項為，最小項為.

試題解析：（Ⅰ）由于，，則

∴，則，即為常數

又，∴數列是以1為首項，為公比的等比數列

從而，即.

（Ⅱ）由即，得，

又，從而

故

當為奇數時，，單調遞減，；

當為偶數時，，單調遞增，

綜上的最大項為，最小項為.

【題型】解答題
【結束】
22

【題目】已知向量， ，若函數的最小正周期為，且在區間上單調遞減.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若關于的方程在有實數解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1);(2)或.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由平面向量數量積公式可得，利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數化為，利用正弦函數的周期公式可得，利用區間上單調遞減，可得，從而可得函數解析式；（Ⅱ）原方程可化為令，可得，整理，等價于在有解，利用一元二次方程根的分布求解即可.

試題解析：（Ⅰ） ，∴

當時，此時單增，不合題意，∴；

∴，∴，在單減，符合題意，故

（Ⅱ），，

方程方程即為：

令，由

，得，于是

原方程化為，整理，等價于在有解

解法一：

（1）當時，方程為得，故；

（2）當時，在上有解在上有解，問題轉化為求函數上的值域；設，則，，，

設，在時，單調遞減，時，單調遞增，∴的取值范圍是，

在上有實數解或

解法二：記

（1）當時，，若解得不符合題意，所以；

（2）當，方程在上有解；

①方程在上恰有一解；

②方程在上恰有兩解或；

綜上所述，的范圍是或.