Question

（2012•瀘州一模）設函數f（x）的定義域為D，若存在非零實數l使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈M，且f（x+l）≥f（x），則稱f（x）為M上的l高調函數．現給出下列命題：
①函數f(x)=(

1

2

)x為R上的1高調函數；
②函數f（x）=lgx為（0，+∞）上的m（m＞0）高調函數；
③函數f（x）=sin2x為R上的π高調函數；
④若函數f（x）=x²為[-1，+∞）上的m高調函數，那么實數m的取值范圍是[2，+∞）．
其中正確命題的序號是

①②③④

（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：①函數f(x)=(

1

2

)x為減函數，存在負實數l使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈M，且f（x+l）≥f（x），滿足高調函數定義；
②根據對數函數f（x）=lgx的圖象可得對數函數為增函數，且滿足高調函數定義，故f（x）=lgx為（0，+∞）上的m（m＞0）高調函數；
③由正弦函數知函數f（x）=sin2x為R上的π高調函數；
④函數f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調函數，只有[-1，1]上至少需要加2．

解答：解：函數f（x+l）=(

1

2

)x+l，f(x)=(

1

2

)x，
要使f（x+l）≥f（x），需要(

1

2

)x+l≥(

1

2

)x恒成立，只需l≤0；
即存在l使得f（x+l）≥f（x）在R恒成立，
∴函數f(x)=(

1

2

)x是R上的1（l≤0）高調函數，故①正確；
∵f（x）=lgx為增函數，∴當m＞0時，lg（x+m）≥lgx，
∴函數f（x）=lgx為（0，+∞）上的m（m＞0）高調函數，故②正確；
∵sin2（x+π）≥sin2x，
∴函數f（x）=sin2x為R上的π高調函數，故③正確；
∵如果定義域為[1，+∞）的函數f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調函數，
只有[-1，1]上至少需要加2，
那么實數m的取值范圍是[2，+∞），故④正確，
綜上，正確的命題序號是①②③④．
故答案為：①②③④

點評：此題屬于新定義的題型，涉及的知識有：函數單調性的判斷與證明，以及基本初等函數的性質，其中認真審題，弄清新定義的本質，找到判斷的標準是解本題的關鍵．