Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC= ，點E在AD上，且AE=2ED．
（Ⅰ）已知點F在BC上，且CF=2FB，求證：平面PEF⊥平面PAC；
（Ⅱ）當二面角A﹣PB﹣E的余弦值為多少時，直線PC與平面PAB所成的角為45°？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵AB⊥AC，AB=AC，∴∠ACB=45°，

∵底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，

∴∠ACD=45°，即AD=CD，

∴ ，

∵AE=2ED，CF=2FB，∴ ，

∴四邊形ABFE是平行四邊形，則AB∥EF，

∴AC⊥EF，

∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF，

∵PA∩AC=A，

∴EF⊥平面PAC，∵EF平面PEF，

∴平面PEF⊥平面PAC．

（Ⅱ）解：∵PA⊥AC，AC⊥AB，

∴AC⊥平面PAB，

則∠APC為直線PC與平面PAB所成的角，

若PC與平面PAB所成夾角為45°，則 ，即 ，

取BC的中點為G，連接AG，則AG⊥BC，以A為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系A﹣xyz，

則B（1，﹣1，0），C（1，1，0）， ， ，

∴ ， ，

設平面PBE的法向量 ，則 即

令y=3，則x=5， ，∴ ，

∵ 是平面PAB的一個法向量，

∴ ，

即當二面角A﹣PB﹣E的余弦值為 時，直線PC與平面PAB所成的角為45°．

【解析】（Ⅰ）推導出∠ACB=45°，從而∠ACD=45°，進而四邊形ABFE是平行四邊形，推導出AC⊥EF，PA⊥EF，從而EF⊥平面PAC，由此能證明平面PEF⊥平面PAC．（Ⅱ）由PA⊥AC，AC⊥AB，知AC⊥平面PAB，則∠APC為直線PC與平面PAB所成的角，取BC的中點為G，連接AG，則AG⊥BC，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A﹣xyz，利用向量法能求出直線PC與平面PAB所成的角．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．