Question

如圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面邊長的3，側棱AA₁＝D是CB延長線上一點，且BD＝BC．

(Ⅰ)求證：直線BC₁∥平面AB₁D；

(Ⅱ)求二面角B₁－AD－B的大小；

(Ⅲ)求三棱錐C₁－ABB₁的體積．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：CD∥C1B1，又BD＝BC＝B1C1，∴四邊形BDB1C1是平行四邊形，∴BC1∥DB1． 　　又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直線BC1∥平面AB1D．……5分 　　(Ⅱ)解：過B作BE⊥AD于E，連結EB1，∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD， 　　∴∠B1EB是二面角B1－AD－B的平面角，∵BD＝BC＝AB，∴E是AD的中點， 　　在Rt△B1BE中，∴∠B1EB＝60°．即二面角B1－AD－B的大小為60°…………10分 　　(Ⅲ)解法一：過A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C， 　　∴AF⊥平面BB1C1C，且AF＝ 　　即三棱錐C1－ABB1的體積為…………15分 　　解法二：在三棱柱ABC－A1B1C1中， 　　即為三棱錐C1－ABB1的體積．