Question

若斜率為k的兩條平行直線l，m經過曲線C的端點或與曲線C相切，且曲線C上的所有點都在l，m之間（也可在直線l，m上），則把l，m間的距離稱為曲線C在“k方向上的寬度”，記為d（k）．
（1）若曲線C：y=2x²-1（-1≤x≤2），求d（-1）；
（2）已知k＞2，若曲線C：y=x³-x（-1≤x≤2），求關于k的函數關系式d（k）．

Answer 1

分析：（1）y=2x²-1（-1≤x≤2）的端點A（-1，1），B（2，7），對函數求導可得y′=4x，設切點M（x₀，2x02-1），結合導數可判斷當k=-1時，與曲線C相切的直線只有一條，另一條直線過曲線的端點B（2，7），寫出兩直線方程，利用兩平行線的距離公式可求d（-1）
（2）曲線C：y=x³-x（-1≤x≤2）的端點C（-1，0），D（2，6），設切點N（a，a³-a），由y′=3x²-1可得k=3a²-1＞2時，可得a＞1或a＜-1，且a2=

1+k

3

，則可得兩平行線中的一個與直線相切與N，且切點x＞1，另一條直線過A（-1，0），寫出直線方程，可求

解答：解：（1）∵y=2x²-1（-1≤x≤2）的端點A（-1，1），B（2，7）
∵y′=4x，設切點M（x₀，2x02-1）
∴4x₀=-1即x0=-

1

4

，切點M（-

1

4

，-

7

8

），
∴當k=-1時，與曲線C相切的直線只有一條，
結合題意可得，兩條平行直線中一條與曲線曲線C：y=2x²-1（-1≤x≤2）相切，另一條直線過曲線的端點B（2，7）
∴平行的兩條直線分別為y-7=-（x-2），y+

7

8

=-(x+

1

4

)
即x+y-9=0，x+y+

9

8

=0
由兩條平行線間的距離公式可得，d=

| 9 8 +9|

2

=

81 2

16

（2）曲線C：y=x³-x（-1≤x≤2）的端點C（-1，0），D（2，6），設切點N（a，a³-a）
∴y′=3x²-1
∴k=3a²-1＞2時，可得a＞1或a＜-1，且a2=

1+k

3

∵-1≤a≤2∴1＜a＜2，即兩平行線中的一個與直線相切與N，且切點x＞1，另一條直線過A（-1，0）
此時兩直線方程y=k（x+1），切線方程y-（a³-a）=k（x-a）
即kx-y+k=0，kx-y+a³-（k+1）a=0
兩平行線間的距離d（k）=

|k-a3+(k+1)a|

1+k2

=

k+ 2 3 (k+1) k+1 9

1+k2

點評：本題以新定義為載體，主要考查了直線與曲線的位置關系的判斷，函數的導數的幾何意義的應用，兩點間距離公式的靈活應用是解答本題的關鍵