Question

已知函數f（x）=λ•2^x-4^x，定義域為[1，3]．
（1）若λ=6求函數f（x）的值域；
（2）若函數f（x）在區間[1，3]上是增函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用換元法，轉化為二次函數，利用配方法可求函數f（x）的值域；
（2）求導函數，轉化為f′（x）=λ2^x•ln2-4^x•ln4≥0在[1，3]上恒成立，即可求得結論．

解答：解：（1）設t=2^x，∵x∈[1，3]，∴t∈[2，8]
∴λ=6時，y=-t²+6t=-（t-3）²+9，2≤t≤8
∴t=3，即x=log₂3時，y取最大值9；t=8，即x=3時，y取最小值-16，
∴函數f（x）的值域是[-16，9]；
（2）由題意，f′（x）=λ2^x•ln2-4^x•ln4≥0在[1，3]上恒成立，即λ≥2^x+1在[1，3]上恒成立
∴λ≥16．

點評：本題考查復合函數，考查函數的值域，考查恒成立問題，考查導數知識的運用，屬于中檔題．