Question

已知函數f（x）=log₅

1+x

1-x

，
（1）證明f（x）為奇函數．
（2）判斷f（x）的單調性并證明．
（3）解不等式f（x）＜f（1-x）

Answer 1

分析：（1）由

1+x

1-x

＞0，求得函數f（x）的定義域為（-1，1）．再根據 f（-x）=-f（x），可得f（x）為奇函數．
（2）函數 f（x）在（-1，1）上是增函數．證明：任取-1＜x₁＜x₂＜1，計算f（x₁）-f（x₂）=log₅ （

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

）＜0，可得 f（x₁）-f（x₂）＜0，從而證得函數 f（x）在（-1，1）上是增函數．
（3）根據函數 f（x）在（-1，1）上是增函數，故由不等式f（x）＜f（1-x）可得-1＜x＜1-x＜1，求得x的范圍，可得不等式的解集．

解答：解：（1）∵

1+x

1-x

＞0，即-1＜x＜1
∴函數f（x）=log₅

1+x

1-x

的定義域為（-1，1）．
在（-1，1）上任取一個自變量x則 f（-x）=log₅

1-x

1+x

=-log₅

1+x

1-x

=-f（x），
∴f（x）為奇函數．
（2）函數 f（x）在（-1，1）上是增函數．
證明：任取-1＜x₁＜x₂＜1，
∵f（x₁）-f（x₂）=log₅

1+x1

1-x1

-log₅

1+x2

1-x2

=log₅ （

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

），
由題設可得 0＜

1+x1

1+x2

＜1，0＜

1-x2

1-x1

＜1，
故 log₅ （

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函數 f（x）在（-1，1）上是增函數．
（3）∵函數 f（x）在（-1，1）上是增函數，
∴由不等式f（x）＜f（1-x）可得-1＜x＜1-x＜1，解得 0＜x＜

1

2

，
故不等式的解集為 （0，

1

2

）．

點評：本題主要考查奇函數的定義，函數的單調性的判斷和證明，利用函數的單調性和定義域解不等式，屬于中檔題．