Question

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D，E分別是AB，BB₁的中點，AA₁＝AC＝CB＝AB.
 
(1)證明：BC₁∥平面A₁CD；
(2)求二面角D－A₁C－E的正弦值．

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)連接AC₁交A₁C于點F，則F為AC₁的中點．
又D是AB的中點，連接DF，則BC₁∥DF.因為DF?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，所以BC₁∥平面A₁CD.
(2)由AC＝CB＝AB得，AC⊥BC.以C為坐標原點，的方向為x軸正方向，的方向為y軸正方向，的方向為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz.設CA＝2，則D(1,1,0)，E(0,2,1)，A₁(2,0,2)，
＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．
設n＝(x₁，y₁，z₁)是平面A₁CD的法向量，
則即可取n＝(1，－1，－1)．
同理，設m＝(x₂，y₂，z₂)是平面A₁CE的法向量，
則即可取m＝(2,1，－2)．
從而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝
即二面角D－A₁C－E的正弦值為