Question

（本小題滿分1２分）

設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，已知對(duì)任意，是 和的等比中項(xiàng)．

（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）證明；

（Ⅲ）設(shè)集合，，且，若存在∈，使對(duì)滿足 的一切正整數(shù)，不等式恒成立，求這樣的正整數(shù)共有多少個(gè)？

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由已知，，且． ………………………1分

當(dāng)時(shí)，，解得．    ……………………………2分

當(dāng)時(shí)，有．

于是，即．

于是，即．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052402362189065359/SYS201205240238250781542436_DA.files/image012.png">，所以．

故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，且．……………………4分

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052402362189065359/SYS201205240238250781542436_DA.files/image015.png">，則，…………………………………5分

所以…7分

（Ⅲ）由，得，所以．  …… 9分

由題設(shè)，，，…，，，，…，．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052402362189065359/SYS201205240238250781542436_DA.files/image029.png">∈M，所以，，…，均滿足條件．…………………10分

且這些數(shù)組成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．                                                                     

設(shè)這個(gè)等差數(shù)列共有項(xiàng)，則，解得．

故集合M中滿足條件的正整數(shù)共有450個(gè)．…………………………12分

 

【解析】略