Question

（本小題滿分14分）已知函數=，.
（1）求函數在區間上的值域；
（2）是否存在實數，對任意給定的，在區間上都存在兩個不同的，使得成立.若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.
（3）給出如下定義：對于函數圖象上任意不同的兩點，如果對于函數圖象上的點（其中總能使得成立，則稱函數具備性質“”，試判斷函數是不是具備性質“”，并說明理由.

Answer 1

（1）值域為 .（2）滿足條件的不存在. （3）函數不具備性質“”.

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
（1）因為，然后分析導數的正負，然后判定單調性得到值域。
（2）令，則由（1）可得，原問題等價于：對任意的在上總有兩個不同的實根，故在不可能是單調函數，對于參數a討論得到結論。
（3）結合導數的幾何意義得到結論。
（1）,當時，，時， 
在區間上單調遞增，在區間上單調遞減,且，
 的值域為 .          ………………………….3分
（2）令，則由（1）可得，原問題等價于：對任意的在上總有兩個不同的實根，故在不可能是單調函數  ……5分
   
當時, ， 在區間上遞減，不合題意 ;
當時, ,在區間上單調遞增，不合題意;
當時, ,在區間上單調遞減，不合題意;
當即時, 在區間上單調遞減; 在區間上單遞增，由上可得，此時必有的最小值小于等于0且的最大值大于等于1， 而由可得，則.
綜上，滿足條件的不存在.……………………………………………8分
（3）設函數具備性質“”，即在點處地切線斜率等于，不妨設，則，而在點處的切線斜率為，故有……..10分
即，令，則上式化為，
令，則由可得在上單調遞增，故，即方程無解，所以函數不具備性質“”.……..14分