Question

（本小題滿分14分）

設定義在區間上的函數的圖像為C，點A、B的坐標分別為且為圖像C上的任意一點，O為坐標原點，當實數滿足時，記向量恒成立，則稱函數在區間上可在標準k下線性近似，其中k是一個確定的正數。

（Ⅰ）求證：A、B、N三點共線

（Ⅱ）設函數在區間[0，1]上可的標準k下線性近似，求k的取值范圍；

（Ⅲ）求證：函數在區間上可在標準下線性近似。

（參考數據：e=2.718,ln（e-1）=0.541）

Answer 1

解(Ⅰ)由=λ+(1－λ)得到=λ，

所以B，N，A三點共線. ………3分                           

(Ⅱ)由x=λ x₁+(1－λ) x₂與向量=λ+(1－λ)，得N與M的橫坐標相同．

對于 [0，1]上的函數y=x²，A(0，0)，B(1，1)，

則有，故；

所以k的取值范圍是．………8分            

(Ⅲ)對于定義在上的函數，A()，B()，    

則直線AB的方程，………10分

令，其中，

于是，       

列表如下：

x	em	(em，em+1－em)	em+1－em	(em+1－em，em+1)	em+1
		+	0	－
	0	增		減	0

則，且在處取得最大值，

又0.123，從而命題成立．  ………14分