Question

已知α，β∈R，寫出用cosα，cosβ，sinα，sinβ表示cos（α-β）的關系等式，并證明這個關系等式．

Answer 1

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．-----（2分）
證明：如圖，在平面直角坐標系xoy內作單位圓O，以Ox為始邊作角α、β，它們的終邊與單位圓的交點分別為A，B．
則

OA

=（cosα，sinα），

OB

=（cosβ，sinβ），
由向量數量積的定義，有

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|cos＜

OA

，

OB

＞=cos＜

OA

，

OB

＞，
由向量數量積的坐標表示，有

OA

•

OB

=cosαcosβ+sinαsinβ．
于是cos＜

OA

，

OB

＞=cosαcosβ+sinαsinβ．①------（7分）
對于任意的α、β，總可選取適當的整數k，使得 α-β=＜

OA

，

OB

＞+2kπ，或α-β=-＜

OA

，

OB

＞+2kπ，
故對于任意的α、β，總有 cos（α-β）=cos＜

OA

，

OB

＞成立，帶入①式得，
對 α、β∈R，總有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ 成立．------（12分）