Question

已知函數f(x)＝x＋sin x.
(1)設P，Q是函數f(x)圖像上相異的兩點，證明：直線PQ的斜率大于0；
(2)求實數a的取值范圍，使不等式f(x)≥axcos x在上恒成立．

Answer 1

（1）見解析   （2）(－∞，2]

解：(1)由題意，得f′(x)＝1＋cos x≥0.
所以函數f(x)＝x＋sin x在R上單調遞增．
設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，x₁≠x₂，
則>0，即k_PQ>0.
所以直線PQ的斜率大于0.
(2)當a≤0時，x∈，則f(x)＝x＋sin x≥0≥axcos x恒成立，所以a≤0；
當a>0時，令g(x)＝f(x)－axcos x＝x＋sin x－axcos x，
則g′(x)＝1＋cos x－a(cos x－xsin x)
＝1＋(1－a)cos x＋axsin x.
①當1－a≥0，即0<a≤1時，g′(x)＝1＋(1－a)cos x＋axsin x>0，所以g(x)在上為單調增函數．
所以g(x)≥g(0)＝0＋sin 0－a·0·cos 0＝0，符合題意．
所以0<a≤1；
②當1－a<0，即a>1時，
令h(x)＝g′(x)＝1＋(1－a)cos x＋axsin x，
于是h′(x)＝(2a－1)sin x＋axcos x.
因為a>1，所以2a－1>0，從而h′(x)≥0.
所以h(x)在上為單調增函數．
所以h(0)≤h(x)≤h，
即2－a≤h(x)≤a＋1，
即2－a≤g′(x)≤a＋1.
(ⅰ)當2－a≥0，即1<a≤2時，g′(x)≥0，所以g(x)在上為單調增函數．
于是g(x)≥g(0)＝0，符合題意．
所以1<a≤2；
(ⅱ)當2－a<0，即a>2時，存在x₀∈，使得當x∈(0，x₀)時，有g′(x)<0，此時g(x)在(0，x₀)上為單調減函數，從而g(x)<g(0)＝0，不能使g(x)>0恒成立．
綜上所述，實數a的取值范圍為(－∞，2]．