Question

已知復數z₀=1－mi（M＞0），z=x＋yi和ω=x′＋y′i，其中x，y，x′，y′均為實數，i為虛數單位，且對于任意復數z，有ω=·，|ω|=2|z|．

（Ⅰ）試求m的值，并分別寫出x′和y′用x、y表示的關系式；

（Ⅱ）將（x，y）作為點P的坐標，（x′，y′）作為點Q的坐標，上述關系式可以看作是坐標平面上點的一個變換：它將平面上的點P變到這一平面上的點Q.

當點P在直線y=x+1上移動時，試求點P經該變換后得到的點Q的軌跡方程；

（Ⅲ）是否存在這樣的直線：它上面的任一點經上述變換后得到的點仍在該直線上?若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由.

Answer 1

答案：
提示：

解：（Ⅰ）由題設，|ω|=|·|=|z0||z|=2|z|， ∴|z0|=2， 于是由1＋m2=4，且m＞0，得m=， 因此由x′＋y′i=·， 得關系式 （Ⅱ）設點P（x，y）在直線y=x+1上，則其經變換后的點Q（x′，y′）滿足 消去x，得y′=（2－）x′－2＋2， 故點Q的軌跡方程為y=（2－）x－2＋2． （Ⅲ）假設存在這樣的直線， ∵平行坐標軸的直線顯然不滿足條件， ∴所求直線可設為y=kx+b（k≠0）. ∵該直線上的任一點P（x，y），其經變換后得到的點Q（x＋y，x－y）仍在該直線上， ∴x－y=k（x＋y）＋b， 即－（k＋1）y=（k－）x＋b， 當b≠0時，方程組無解， 故這樣的直線不存在. 當b=0，由， 得k2＋2k=0， 解得k=或k=， 故這樣的直線存在，其方程為y=x或y=x.