Question

某單位用2160萬元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房．經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x（x≥10）層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x（單位：元）．為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？
（注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用=

購(gòu)地總費(fèi)用

建筑總面積

）

Answer 1

分析：先設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為f（x）元，根據(jù)題意寫出綜合費(fèi)f（x）關(guān)于x的函數(shù)解析式，再利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出它的最小值即可．

解答：解：方法1：導(dǎo)數(shù)法
設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為f（x）元，
則f(x)=(560+48x)+

2160×10000

2000x

=560+48x+

10800

x

（x≥10，x∈Z⁺）
f′(x)=48-

10800

x2

，
令f'（x）=0得x=15
當(dāng)x＞15時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)0＜x＜15時(shí)，f'（x）＜0
因此當(dāng)x=15時(shí)，f（x）取最小值f（15）=2000；
答：為了樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層．
方法2：（本題也可以使用基本不等式求解）
設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為f（x）元，
則f(x)=(560+48x)+

2160×10000

2000x

=560+48x+

10800

x

≥560+2

48x• 10800 x

=2000，
當(dāng)且進(jìn)行48x=

10800

x

，即x=15時(shí)取等號(hào)．
答：為了樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查應(yīng)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問題的能力，建立函數(shù)式、解方程、不等式、最大值等基礎(chǔ)知識(shí)．