Question

中國環保部部長在2012年“六•五”世界環境日高層論壇上表示，國家正在加大污水處理的投入，為此四川蘭家溝污水處理站擬建一座平面圖形為矩形且面積為2000m²的四級污水處理池，長，寬都不能超過60米，如果四周圍池壁建造單價為400元/m，中間三道隔墻建造單價為300元/m，池底建造單價為100元/m²，池壁的厚度忽略不計．設污水池的長為x米，總造價為f（x）元．
（1）求f（x）的解析式，并求出其定義域；
（2）求f（x）的最小值，并求出此時污水池的長和寬．

Answer 1

分析：（1）由題意污水池長為x米，則寬為

200

x

米，表示出總造價f（x）
（2）對得到的函數f（x）選用合適的方法求最小值．

解答：解：（1）由題意污水池長為x米，則寬為

200

x

米，則f（x）=400（2x+2-

2000

x

）+300×3×

200

x

+2000×100
=800（x+

4250

x

）+200000
由

0＜x≤60 0＜ 2000 x ≤60

得33

1

3

≤x≤60
所以函數定義域為{x|33

1

3

≤x≤60}
（2）f′（x）=800（1-

4250

x2

），當33

1

3

≤x≤60時，f′（x）＜0，f（x）為減函數，
所以當x=60時，f（x）min=304666

2

3

所以當長為60米，寬為33

1

3

米時，f（x）的最小值為304666

2

3

點評：此題是一道實際應用題，考查了函數的最值求解，對于形如f（x）=ax+

b

x

（a，b＞0）型求最值，可用基本不等式，或導數法．