Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x+b（b∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），若關(guān)于x的不等式f（x）＜c（c＞0）的解集為（k，k+6）（k∈R），求c的值；
（Ⅱ）當(dāng)b=0時(shí)，m為常數(shù)，且0＜m＜1，1-m≤t≤m+1，求

f(t)-t2-t

f(t)-2t+1

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求出b的值，然后根據(jù)不等式的解集建立方程關(guān)系，求c的值；
（Ⅱ）將條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可．

解答：解：（Ⅰ）由值域?yàn)閇0，+∞），當(dāng)x²+2x+b=0時(shí)有△=4-4b=0，即b=1．
則f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
由已知f（x）=（x+1）²＜c
解得-

c

＜x+1＜

c

，-

c

-1＜x＜

c

-1，
∵不等式f（x）＜c的解集為（k，k+6），
∴(

c

-1)-(-

c

-1)=2

c

=6，
解得c=9．
（Ⅱ）當(dāng)b=0時(shí)，f（x）=x²+2x，
∴

f(t)-t2-t

f(t)-2t+1

=

t

t2+1

．
∵0＜m＜1，1-m≤t≤m+1，
∴0＜1-m≤t≤m+1＜2．
令g(t)=

t

t2+1

，則g′(t)=

1-t2

(t2+1)2

，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g'（t）＞0，g（t）單調(diào)增，
當(dāng)1＜t＜2時(shí)，g'（t）＜0，g（t）單調(diào)減，
∴當(dāng)t=1時(shí)，g（t）取最大值，g(1)=

1

2

．
∵g(1-m)-g(1+m)=

1-m

(1-m)2+1

-

1+m

(1+m)2+1

=

-2m3

[(1-m)2+1][(1+m)2+1]

＜0，
∴g（1-m）＜g（1+m）．
∴g(t)=

t

t2+1

的范圍為[

1-m

(1-m)2+1

，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力．