Question

（2006•朝陽區一模）在各項均為正數的數列{a_n}中，前n項和S_n滿足2S_n+1=a_n（2a_n+1），n∈N^*．
（Ⅰ）證明{a_n}是等差數列，并求這個數列的通項公式及前n項和的公式；
（Ⅱ）在XOY平面上，設點列M_n（x_n，y_n）滿足a_n=nx_n，S_n=n²y_n，且點列M_n在直線C上，M_n中最高點為M_k，若稱直線C與x軸、直線x=a、x=b所圍成的圖形的面積為直線C在區間[a，b]上的面積，試求直線C在區間[x₃，x_k]上的面積；
（Ⅲ）是否存在圓心在直線C上的圓，使得點列M_n中任何一個點都在該圓內部？若存在，求出符合題目條件的半徑最小的圓；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2Sn=2

a

2 n

+an-1①，得2Sn+1=2

a

2 n+1

+an+1-1②，兩式相減可得遞推式，化簡后由等差數列的定義可作出判斷，根據等差數列通項公式及前n項和公式可得通項及前n項和；
（Ⅱ）由an=nxn，Sn=n2yn可得x_n，y_n，從而得點M_n，消掉參數n后可得直線C的方程，根據y_n的單調性可求其最大值，從而得到最高點M_k，從而可得區間[x₃，x_k]，易判斷圖形形狀，由面積公式可求；
（Ⅲ）先列出直線C：3x-2y-1=0上的點列M_nM₁（1，1），M₂（

3

4

，

5

8

），M₃（

2

3

，

1

2

），…，M_n（

1

2

+

1

2n

，  

1

4

+

3

4n

），…而

lim

n→∞

(

1

2

+

1

2n

)=

1

2

，  

lim

n→∞

(

1

4

+

3

4n

)=

1

4

，
可知點列M_n沿直線C無限接近于極限點M（

1

2

，

1

4

），則以M₁M為直徑的圓為滿足條件的最小圓；

解答：（Ⅰ）證明：由已知得2Sn=2

a

2 n

+an-1①，
故2Sn+1=2

a

2 n+1

+an+1-1②，
②-①得2an+1=2

a

2 n+1

-2

a

2 n

+an+1-an，
結合a_n＞0，得an+1-an=

1

2

，
∴{a_n}是等差數列，
又n=1時，2a1=2

a

2 1

+a1-1，解得a₁=1或a1=-

1

2

，∵a_n＞0，∴a₁=1，
又d=

1

2

，故an=1+

1

2

(n-1)=

1

2

n+

1

2

，
∴Sn=n+

1

2

•

n(n-1)

2

=

1

4

n2+

3

4

n；
（II）∵an=nxn，Sn=n2yn，
∴xn=

an

n

=

1

2

+

1

2n

，yn=

Sn

n2

=

1

4

+

3

4n

，即得點Mn(

1

2

+

1

2n

，  

1

4

+

3

4n

)，
設x=

1

2

+

1

2n

，y=

1

4

+

3

4n

，消去n，得3x-2y-1=0，即直線C的方程為3x-2y-1=0，
又y=

1

4

+

3

4n

是n的減函數，∴M₁為M_n中的最高點，且M₁（1，1），
又M₃的坐標為（

2

3

，

1

2

），∴C與x軸、直線x=

2

3

、x=1圍成的圖形為直角梯形，
從而直線C在[

2

3

，1]上的面積為S=

1

2

×(

1

2

+1)×(1-

2

3

)=

1

4

；
（III）由于直線C：3x-2y-1=0上的點列M_n依次為M₁（1，1），M₂（

3

4

，

5

8

），M₃（

2

3

，

1

2

），…，M_n（

1

2

+

1

2n

，  

1

4

+

3

4n

），…
而

lim

n→∞

(

1

2

+

1

2n

)=

1

2

，  

lim

n→∞

(

1

4

+

3

4n

)=

1

4

，
因此，點列M_n沿直線C無限接近于極限點M（

1

2

，

1

4

），
又

1

2

|M1M|=

1

2

(1- 1 2 )2+(1- 1 4 )2

=

13

8

，M₁M的中點為（

3

4

，

5

8

），
∴滿足條件的圓存在，事實上，圓心為（

3

4

，

5

8

），半徑r≥

13

8

的圓，就能使得M_n中任何一個點都在該圓的內部，其中半徑最小的圓為(x-

3

4

)2+(y-

5

8

)2=

13

64

．

點評：本題考查等差數列的通項公式、求和公式及數列與直線圓的綜合題，考查學生對問題的分析理解能力及轉化能力．