Question

已知函數f（x）=

x+a

x+1

，g（x）=（1-a）e^x
（I）若曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-3y+1=0平行，求實數a的值；
（II）當0＜a＜1時，求函數F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上的值域．

Answer 1

分析：（I）由f（x）=

x+a

x+1

，知f′（x）=

1-a

(x+1)2

，再曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-3y+1=0平行，能求出a的值．
（II）由F（x）=f（x）-g（x）=

x+a

x+1

-（1-a）e^x，知F′（x）=

1-a

(x+1)2

-（1-a）e^x=（1-a）[

1

(x+1)2

-e^x]，由0＜a＜1，x∈（0，1]，推導出F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上是減函數，由此能求出函數F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上的值域．

解答：解：（I）∵f（x）=

x+a

x+1

，
∴f′（x）=

1-a

(x+1)2

，
∵曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-3y+1=0平行，
∴f′(1)=

1-a

4

=

1

3

，解得a=-

1

3

．
（II）∵f（x）=

x+a

x+1

，g（x）=（1-a）e^x，
∴F（x）=f（x）-g（x）=

x+a

x+1

-（1-a）e^x，
∴F′（x）=

1-a

(x+1)2

-（1-a）e^x=（1-a）[

1

(x+1)2

-e^x]，
∵0＜a＜1，x∈（0，1]，
∴1-a＞0，

1

(x+1)2

-e^x＜0，
∴F′（x）＜0，
∴F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上是減函數，
∵F（0）=a-1+a=2a-1，
F（1）=

1+a

2

-（1-a）e，
∴函數F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上的值域為[

1+a

2

-（1-a）e，2a-1）．

點評：本題考查導數的幾何意義的應用，考查函數的值域的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．