Question

設函數f（x）=

a

• 

b

，其中向量

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），x∈R．
（1）若函數f（x）=1-

3

，且x∈[-

π

3

，

π

3

]，求x；
（2）求函數y=f（x）的單調增區間；
并在給出的坐標系中畫出y=f（x）在區間[0，π]上的圖象．

Answer 1

分析：（1）化簡函數的解析式為 f（x）=2sin（2x+

π

6

 ）+1，由f（x）=1-

3

，解得sin（2x+

π

6

 ）=-

3

2

，結合x的
范圍，求出x值．
（2）由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍即得單調增區間，有五點法做出其圖象．

解答：解：（1）依題設得函數f（x）=2cos²x+

3

sin2x=1+2cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

 ）+1，
由 2sin（2x+

π

6

 ）=1=1-

3

，∴sin（2x+

π

6

 ）=-

3

2

．∵-

π

3

≤x≤

π

3

，
∴-

π

2

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，∴2x+

π

6

=-

π

3

，x=-

π

4

．
（2）由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
得函數單調增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]．

x	0	π 6	π 3	π 2	2π 3	5π 6	π
y	2	3	2	0	-1	0	2

點評：本題考查兩個向量的數量積公式的應用，正弦函數的單調性，以及用五點法作y=Asin（ωx+∅）的簡圖，化簡函數
f（x）的解析式是解題的突破口．