Question

設數列{a_n}的各項都是正數，且對任意n∈N^*，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，記S_n為數列{a_n}的前n項和．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ為非零常數，n∈N^*），問是否存在整數λ，使得對任意 n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．

Answer 1

分析：（1）利用n=1求出a₁，利用a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1²，做差推出a_n-a_n-1=1證明是等差數列．
（2）假設存在λ使得滿足題意，然后計算化簡b_n+1-b_n，再結合恒成立問題進行轉化，將問題轉化為：(-1)n-1•λ＜(

3

2

)n-1對任意的n∈N*恒成立．然后分n為奇偶數討論即可獲得λ的范圍，再結合為整數即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）在已知式中，當n=1時，a₁³=S₁²=a₁²
∵a₁＞0∴a₁=1…（2分）
當n≥2時，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²①a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1²②
①-②得，a_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）
∵a_n＞0∴a_n²=S_n+S_n-1=2S_n-a_n③
∵a₁=1適合上式…（4分）
當n≥2時，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1④
③-④得：a_n²-a_n-1²=2（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1=2a_n-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1
∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=1
∴數列{a_n}是等差數列，首項為1，公差為1，可得a_n=n…（6分）
（2）假設存在整數λ，使得對任意 n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．
∵a_n=n∴bn=3n+(-1)n-1λ•2an=3n+(-1)n-1λ•2n
∴b_n+1-b_n=[3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺¹]-[3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ]=2•3ⁿ-3λ（-1）^n-1•2ⁿ＞0
∴(-1)n-1•λ＜(

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2

)n-1⑤…（8分）
當n=2k-1（k∈N^*）時，⑤式即為λ＜(

3

2

)2k-2⑥
依題意，⑥式對k∈N^*都成立，∴λ＜1…（10分）
當n=2k（k∈N^*）時，⑤式即為λ＞-(

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2

)2k-1⑦
依題意，⑦式對k∈N^*都成立，
∴λ＞-

3

2

…（12分）
∴-

3

2

＜λ＜1，又λ≠0
∴存在整數λ=-1，使得對任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n…（14分）

點評：本題考查的是數列與不等式的綜合題．在解答的過程當中充分體現了數列通項與前n項和的知識、分類討論的知識以及恒成立問題的解答規律．值得同學們體會和反思．