Question

（2008•寶山區一模）函數是這樣定義的：對于任意整數m，當實數x滿足不等式|x-m|＜

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時，有f（x）=m．
（1）求函數的定義域D，并畫出它在x∈D∩[0，4]上的圖象；
（2）若數列an=2+10•(

2

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)n，記S_n=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_n），求S_n；
（3）若等比數列{b_n}的首項是b₁=1，公比為q（q＞0），又f（b₁）+f（b₂）+f（b₃）=4，求公比q的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用絕對值不等式的解法，解|x-m|＜

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可得定義域，并畫出圖象．
（2）分別求出f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），考查數列{f（a_{n ^）}} 的性質，再求和．
（3）由f（b₁）+f（b₂）+f（b₃）=4得f（q）+f（q²）=3，對q分類討論，確定q的值．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域是D={x||x-m|＜

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}={x|m-

1

2

＜x＜m+

1

2

，m∈Z}
圖象如圖所示，
（2）由于an=2+10•(

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)n，所以f(an)=

6   n=1 4   n=2 3   n=3 2    n≥4

，
因此，Sn=

6  n=1 10    n=2 2n+7    n≥3

；
（3）由f（b₁）+f（b₂）+f（b₃）=4得f（q）+f（q²）=3，
當0＜q≤1時，則q²≤q≤1，所以f（q²）≤f（q）≤f（1）=1，
則f（q）+f（q²）≤2＜3，不合題意；
當q＞1時，則q²＞q＞1，所以f（q²）＞f（q）＞f（1）=1
只可能是

f(q)=1 f(q2)=2

，即

1 2 ＜q＜ 3 2 3 2 ＜q2＜ 5 2

，解之得

6

2

＜q＜

3

2

．

點評：本題考查閱讀理解、計算、分類討論思想和能力．正確理解新定義，將問題轉化成已有的知識，用已有的方法解決時此類問題共同的策略．