Question

（本小題滿分15分）

在平面直角坐標系中，已知點，過點作拋物線的切線，其切點分別為、（其中）．

（1）求與的值；

（2）若以點為圓心的圓與直線相切，求圓的面積；

（3）過原點作圓的兩條互相垂直的弦，求四邊形面積的最大值.

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由可得，．……1分

∵直線與曲線相切，且過點，∴，即，

∴，或，      ……3分

同理可得：，或      ……4分

∵，∴，．    ……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，則直線的斜率

，……6分

∴直線的方程為：，又，

∴，即．             ……7分

∵點到直線的距離即為圓的半徑，即，   ……8分

故圓的面積為．……9分

（Ⅲ）四邊形的面積為

不妨設圓心到直線的距離為，垂足為；圓心到直線的距離為，垂足為；則    ……10分

由于四邊形為矩形.且  ……11分

所以，由基本不等式可得

，

當且僅當時等號成立.     ……15分

【解析】略